Assiomi

    Il sistema di assiomi della geometria euclidea

    Euclide

    Scritti nel 300 a.C. il sistema di assiomi di Euclide presenti nel libro Gli Elementiè rimasto immutato per circa 20 secoli.

    Hilbert

    Scritti nel 1899 e presenti nel libro Grundlagen der Geometrie

    La versione moderna

    Il sistema di assiomi attuale: postulati d'ordine, di appartenenza, del trasporto.

    Euclide

    I 5 postulati di Euclide

    Per un punto passano infinite rette
    Per due punti distinti passa una ed una sola retta
    Per una retta nello spazio passano infiniti piani
    Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
    Per tre punti allineati passa una e una sola retta

    Le nozioni comuni

    Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro
    Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali
    Sottraendo (quantità) uguali da (quantità) uguali i resti sono uguali
    Cose che coincidono con un'altra sono uguali all'altra
    L'intero è maggiore della parte

    Corollari

    Per un punto passano infinite rette
    Per due punti distinti passa una ed una sola retta
    Per una retta nello spazio passano infiniti piani
    Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
    Per tre punti allineati passa una e una sola retta

    il V postulato

    E' il postulato più famoso, la sua negazione nel XIX secolo ha dato vita allo studio delle geometrie non euclidee.

    "In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti"

    Assiomi secondo Hilbert

    Assiomi di collegamento

    1. Due punti distinti dello spazio individuano una retta.
    2. Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.
    3. Tre punti non allineati dello spazio individuano un piano.
    4. Qualsiasi terna di punti non allineati di un piano individua tale piano.
    5. Se due punti di una retta giacciono su un piano tutti i punti della retta giacciono su quel piano.
    6. Se due piani hanno un punto in comune avranno almeno un secondo punto in comune.
    7. Ogni retta contiene almeno due punti, ogni piano contiene almeno tre punti non allineati.
    8. Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.

    Assiomi di ordinamento

    1. Se un punto A sta tra B e C, A sta anche tra C e B, ed i tre punti sono allineati
    2. Dati due punti distinti A e B, esistono un terzo e un quarto punto C e D sulla retta passante per A e B tali che A sta tra C e B e B sta tra A e D
    3. Dati tre punti distinti e allineati, ce n'è esattamente uno che giace tra gli altri due
    4. (Assioma di Pasch). Siano dati tre punti A, B e C non allineati, contenuti in un piano p, ed una retta d contenuta in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: se d contiene un punto del segmento AB, allora contiene anche un punto di uno dei due segmenti AC e BC.

    Assiomi di congruenza

    1. Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre A' è un punto sulla stessa retta ovvero su un'altra a', si può sempre trovare un punto B', da una data parte della retta a' rispetto ad A', tale che il segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento A'B'. In simboli: AB ≡ A'B'.
    2. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se A′B′ e A′′B′′ sono congruenti ad AB, allora A′B′ ≡ A′′B′′.
    3. Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti interni comuni, e siano A′B′ e B′C′ segmenti su una retta r′ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A′B′ e BC ≡ B′C′, allora AC ≡ A′C′.
    4. Sia ABC un angolo e B'C' una semiretta, esistono e sono uniche due semirette B'D e B'E, tali che l'angolo DB'C' è congruente all'angolo ABC et l'angolo EB'C' è congruente all'angolo ABC.
    5. La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se A′B′C′ e A′′B′′C′′ sono congruenti ad ABC, allora A′B′C′ ≡ A′′B′′C′′.
    6. (Primo dei criteri di congruenza dei triangoli). Se per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′, e l'angolo BAC ≡ all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC ≡ al triangolo A′B′C′.

    Assioma delle parallele

    1. (Postulato di Playfair): Dati una retta r, un punto A non in r, ed un piano p contenente entrambi, esiste al più una retta in p contenente A e non contenente nessun punto di r.

    Assiomi di continuità

      1. (Assioma di Archimede). Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenente AB una famiglia di punti A₁, A₂, …,An tali che i segmenti AA₁, A₁A₂, A₂A₃, …, An-1An, sono congruenti a CD e tali che Bgiace tra A e An.
      2. (Assioma di completezza ). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi geometrici in modo che il sistema così generalizzato formi una nuova geometria obbediente a tutti i venti assiomi precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione, ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema assiomatico di Hilbert.

    Postulati che studiamo a scuola

    I postulati di appartenenza

    1. A una retta appartengono almeno due punti distinti e a un piano almeno tre punti distinti non allineati.
    2. Due punti distinti appartengono a una e una sola retta.
    3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a uno e un solo piano.
    4. Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.
    5. Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano.

    partizione del piano mediante una retta

    Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi distinti, in modo che, se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono estremi non interseca la retta; se appartengono a insiemi diversi, allora il segmento interseca la retta.

    Rette e semirette, piani e semipiani

    Sono congruenti fra loro: due rette, due semirette, due piani, due semipiani

    Postulati d’ordine

    1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A.
    2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
    3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
    4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede C..

    Relazioni di equivalenza

    • Proprietà riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa: A≅A

    • Proprietà simmetrica: se A≅B, allora B≅A

    • Proprietà transitiva: se A≅B , e B≅C, allora A≅C

    Il trasporto dei segmenti e degli angoli

    Postulato del trasporto dei segmenti

    Data una semiretta di origine O e un segmento AB, sulla semiretta esiste ed è unico il punto P tale che OP≅AB.

    Postulato del trasporto di angoli

    MathJax example

    Dati un semipiano, sulla cui origine si sia fissata una semiretta s di origine O', e un angolo \(a\widehat{O}b\) di origine O, esiste ed è unica la semiretta \(p\) appartenente al semipiano tale che \(a\widehat{O}b\cong s\widehat{O'}p\).

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